125 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 75 জন মেয়ে। যদি একজন শিক্ষার্থীকে দৈবক্রমে (randomly) নির্বাচন করা হয়, তবে সেই শিক্ষার্থীর ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা কত? (Among 125 students 75 are girls. If one student is selected randomly, what is the probability of this student to be a boy?)

বাস্তব জীবনভিত্তিক সহজ কিছু সম্ভাবনার সমস্যা এবং তাদের সমাধান দেয়া হলো, যা অনির্ভরশীল এবং নির্ভরশীল ঘটনার গুণনসূত্র ও যোগসূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

১. কয়েন ফেলা: অনির্ভরশীল ঘটনা

ধরা যাক, একটি কয়েন দুটি বার ফেলা হচ্ছে। আমাদের জানতে হবে, প্রথম এবং দ্বিতীয় বার উল্টো পিঠ (Heads) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

• প্রথম ফ্লিপে Heads আসার সম্ভাবনা \( P(\text{Heads on 1st flip}) = \frac{1}{2} \)
• দ্বিতীয় ফ্লিপেও Heads আসার সম্ভাবনা \( P(\text{Heads on 2nd flip}) = \frac{1}{2} \)

যেহেতু কয়েনের প্রথম ফ্লিপের ফলাফল দ্বিতীয় ফ্লিপের উপর কোনো প্রভাব ফেলছে না, এই দুটি ঘটনা অনির্ভরশীল।

তাহলে, দুটি ফ্লিপে উল্টো পিঠ (Heads) আসার সম্মিলিত সম্ভাবনা হবে:

\[
P(\text{Heads on 1st and 2nd flip}) = P(\text{Heads on 1st flip}) \times P(\text{Heads on 2nd flip}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

২. বাগান থেকে ফল সংগ্রহ: নির্ভরশীল ঘটনা

ধরা যাক, একটি বাগানে ১০টি আপেল এবং ১৫টি নাশপাতি রয়েছে। প্রথমে একটি আপেল (ঘটনা \( A \)) সংগ্রহ করা হচ্ছে, তারপর সেটি ফেরত না দিয়ে একটি নাশপাতি (ঘটনা \( B \)) সংগ্রহ করতে হবে। আমাদের জানতে হবে, প্রথমে আপেল এবং তারপর নাশপাতি সংগ্রহ করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

• প্রথমে একটি আপেল সংগ্রহ করার সম্ভাবনা:

\[
P(A) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}
\]

• এরপর, একটি আপেল সংগ্রহ করার পর, দ্বিতীয় বার নাশপাতি সংগ্রহ করার শর্তাধীন সম্ভাবনা:

\[
P(B \mid A) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}
\]

এখানে, দ্বিতীয় সংগ্রহের সম্ভাবনা প্রথম সংগ্রহের উপর নির্ভরশীল, কারণ প্রথমে আপেল সংগ্রহ করার পর বাগানে আপেলের সংখ্যা কমে যাবে।

তাহলে, প্রথমে আপেল এবং পরে নাশপাতি সংগ্রহ করার সম্মিলিত সম্ভাবনা হবে:

\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}
\]

৩. ডাইস ফেলা: পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা

ধরা যাক, একটি ডাইস ফেলা হচ্ছে এবং আমাদের জানতে হবে, ৩ অথবা ৪ আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

• \( A \) ঘটনা: ৩ আসা, \( P(A) = \frac{1}{6} \)
• \( B \) ঘটনা: ৪ আসা, \( P(B) = \frac{1}{6} \)

এখানে, ৩ অথবা ৪ আসা দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা, কারণ একবারে ৩ এবং ৪ একসাথে আসা সম্ভব নয়।

তাহলে, ৩ অথবা ৪ আসার সম্মিলিত সম্ভাবনা হবে:

\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

৪. শিক্ষার্থীর গ্রেড: অবর্জনশীল ঘটনা

ধরা যাক, একটি ক্লাসে ১০০ জন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে। ৩০ জন ছাত্র পেয়েছে A গ্রেড, ৪০ জন পেয়েছে B গ্রেড, এবং ১০ জন ছাত্র পেয়েছে A এবং B গ্রেড উভয়। আমাদের জানতে হবে, একজন শিক্ষার্থী A অথবা B গ্রেড পাবে, তার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

এখানে, A এবং B গ্রেড পাওয়া দুটি অবর্জনশীল ঘটনা, কারণ কিছু ছাত্র A এবং B উভয় গ্রেড পেয়েছে। তাই তাদের সম্মিলিত সম্ভাবনা নির্ণয় করতে হবে:

\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]

• \( P(A) = \frac{30}{100} = 0.30 \)
• \( P(B) = \frac{40}{100} = 0.40 \)
• \( P(A \cap B) = \frac{10}{100} = 0.10 \)

তাহলে, A অথবা B গ্রেড পাবে এমন শিক্ষার্থীর সম্ভাবনা হবে:

\[
P(A \cup B) = 0.30 + 0.40 - 0.10 = 0.60
\]

এই সমস্যাগুলোর মাধ্যমে আমরা দেখতে পেলাম, অনির্ভরশীল ঘটনা, নির্ভরশীল ঘটনা, এবং অবর্জনশীল ঘটনা নিয়ে কাজ করার জন্য সম্ভাবনা নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।